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[数学] 一文搞定函数的基本问题

    还在为函数的增减性、区间取值而烦恼吗?三角函数、指数函数、对数函数等等函数头蒙圈了吗?
/ P. C, v4 u" R- E/ l$ @, s& C/ A1 O  d1 J; E* E
  一、函数的单调性
: I. I* k' p! a6 z' V/ K
3 M9 h* ^" i4 s+ D! W1 @  1.增函数和减函数

8 z2 R! b- d  k
- V6 B% E! u. w) G) E1 Q* ]0 {2 q  一般地,设函数f(x)的定义域为I:
1 K- P  @' k3 o: z9 D
$ |) n. l! [- g' y, h  如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1<x2时都有f(x1)<f(x2).那么就说f(x)在 这个区间上是增函数。' K) y4 H* `# o: `9 `: D8 \( ?7 E

# p0 j: T# i2 X2 J4 J  D6 ]1 E: x$ ?  如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1<x2时都有f(x1)>f(x2).那么就是f(x)在这个区间上是减函数。
" N5 {1 N* E- L1 [& d; p* U2 ?/ K2 t8 J2 k6 I5 O7 L' c& C
8 K" Q. g7 P3 O7 u: [2 P8 ?
 2.单调区间; v# E' ]7 N( w$ F. f2 N
  T" T% B6 n( x  I* W, o4 b9 T
  单调区间是指函数在某一区间内的函数值Y,随自变量X增大而增大(或减小)恒成立。如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数。那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,这一区间叫做y= f(x)的单调区间。6 T( ~% R% O, O, y# @$ y

1 V0 B3 ], f" x( Y9 x  二、三角函数9 r: ]+ a" ~4 J7 k
# V" x' ?2 h3 [9 ]# l1 d' F" a, h
  1.三角函数

* z# S* u8 E* }0 X& Q6 s
) D$ w0 D3 d" J0 w9 r2 E  三角函数的定义域是研究其他一切性质的前提,求三角函数的定义域实际上就是解最简单的三角不等式,通常可用三角函数的图像或三角函数线来求解,注意数形结合思想的应用,如何运用三角函数的图像解决问题能够帮助对数形结合思想的掌握。2 J0 M! i, }# J
( @# G5 P$ d$ q& h0 D, J$ a
  2.三角函数诱导公式
0 i- g7 s5 t( S
5 \* D& i, ~6 ^; e; N' m  公式一: 设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等运用同角三角函数的基本关系式求值
4 h  @7 y& p$ K2 h: Y8 K5 V% ]
6 z8 Y; T9 M3 z' k+ C1 n" `3 }( x  公式二: 设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系:. \5 j: k/ x) r2 B. w% M; f+ A

8 F2 [- d6 W) _  sin(π+α)=—sinα: w& k1 |- {5 j1 D
( k6 |# D) f! k" p# _7 H
  cos(π+α)=-cosα0 U& M- d# K! k

2 T0 f- }* ?9 c# y  tan(π+α)=tanα' i. l' f; R1 I, b! r. Z  p2 l3 M

/ R/ ?1 l$ ?* \# f( U3 v! j  cot(π+α)=cotα. L* M& P6 |) U% G; e
/ O7 Q( C5 H% _0 O$ H0 ^
  公式三: 任意角α与-α的三角函数值之间的关系:; b1 G/ @, j( h: \# H7 `' [2 S

3 n# F; g2 ~3 H# C: r  sin(-α)=-sinα0 G" z: b$ p& P) n4 `8 G
# K  x7 G- F4 t# L8 C# y) i
  3.锐角三角函数
6 C7 x  C% y: y9 K* |4 y% C# \( g, r* \; a2 [
  在△ABC中,∠C为直角,∠A和∠B是锐角
2 J2 j0 z+ r  b' z: W  p# p8 j. y
( r0 p- [: g( ?5 W3 A/ J  (1)我们把锐角∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦,记作sinA...
6 T! |2 B: A8 @0 y7 s4 N; L
; e1 `9 F' s% h0 \  三、指数函数
3 i6 o/ W; M2 Y7 Z! P
1 W9 {* m( F& Q- n  1.指数函数的定义
( M. ~) O4 f+ v: C3 M+ v5 }: h  f0 I
3 p1 J; z$ |, F! K+ `3 k5 i# N7 ~
  指数函数的一般形式为y=a^x(a>0且≠1) (x∈R).! r2 g9 {/ {3 H! p+ n4 S! A$ r5 _$ O
/ }) n0 I  a1 H1 \
  2.指数函数的性质
4 ^; k6 Z+ [! r4 K
( E/ T% J9 O) c) n' v1 |  (1)曲线沿x轴方向向左无限延展〈=〉函数的定义域为(-∞,+∞)! k: }3 E, k( w4 ?9 x6 Y  s

3 s- m; W! \' m8 j6 [) n. t" l6 o  (2)曲线在x轴上方,而且向左或向右随着x值的减小或增大无限靠近X轴(x轴是曲线的渐近线)〈=〉函数的值域为(0,+∞)
; X7 {' S" I) g+ w( K8 L: Q: a% o2 F: ?
  四、对数与对数函数
  `8 R0 B$ r  [( X. `7 V: k9 {, d5 W& o
  1.定义
- r' T6 {0 L7 d5 p9 G% e
/ t9 o0 w$ K4 E- p5 d5 Y) }
  对数:一般地,如果a(a大于0,且a不等于1)的b次幂等于N,那么数b叫做以a为底N的对数,记作log aN=b,读作以a为底N的对数,其中a叫做对数的底数,N叫做真数。0 H. l9 M$ O; p

7 m( T" |9 x( O7 ]: r  对数函数:一般地,函数y=log(a)X,(其中a是常数,a>0且a不等于1)叫做对数函数,它实际上就是指数函数的反函数,因此指数函数里对于a的规定,同样适用于对数函数。0 @* m- w% Q3 @( \
6 K7 b" |' Y2 W) D; z$ l$ H. v
  2.方法点拨& I& ?- o+ k+ U6 |

' o& n6 H0 R# f! O2 x/ K  在解决函数的综合性问题时,要根据题目的具体情况把问题分解为若干小问题一次解决,然后再整合解决的结果,这也是分类与整合思想的一个重要方面。0 i4 J* `2 n5 ~$ v. @# C% l

. {0 a$ a: _# I. G0 ^. s* |  五、幂函数+ e4 g8 ^6 Z% G. h* @* E
9 o4 n; f0 u4 |3 g6 ^, z
  1.定义, O( ?2 [+ o* p% M
2 l. h3 V& [5 c) P' v
  形如y=x^a(a为常数)的函数,即以底数为自变量 幂为因变量,指数为常量的函数称为幂函数。
9 ?4 B. r1 t" w& ]! N  u' j
6 O( L* ^6 O- t5 W2 w# h
5 M1 t5 Z8 l- z4 C: P% C* F2.性质  j# K( D, A4 A* f! _
" a" U3 z+ r& J- Q. |# |
  幂函数不经过第三象限,如果该函数的指数的分子n是偶数,而分母m是任意整数,则y>0,图像在第一;二象限.这时(-1)^p的指数p的奇偶性无关.' T5 r' p6 K  f
' Y5 }) G. G' ]' c# m9 h
  如果函数的指数的分母m是偶数,而分子n是任意整数,则x>0(或x>=0);y>0(或y>=0),图像在第一象限.与p的奇偶性关系不大.

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