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[数学] 高中数学经典试题

    已知向量a=(sinx,cosx),b=(6sinx+cosx,7sinx-2cosx),设函数f(x)=a*b.(1)求函数f(x)的最大值(2)在锐角三角形ABC中A,B,C的对边分别为a,b,c,f(A)=6,且三角形ABC的面积为3,b+c=2+3根号2,求a值
* g6 U3 l0 t. X6 n  w3 l* m& j! ?+ a/ K. U- o+ e
  答案
. u5 Y8 f3 g3 Q) [' e; \% Y4 e& ?4 @9 W% P# ?' U  Y
  f(x)=6(sinx)^2+sinxcosx+7sinxcosx-2(cosx)^27 d6 R& N' M, i! [' |2 P' ~3 [

! ~( g( k* m7 ?# g' o  =6*(1-cos2x)/2+4sin2x-(1+cos2x)
6 `* X  I- O5 G( U5 L, W8 k2 p; D3 ]2 D/ D5 E, Z- D. j+ l
  =4sin2x-4cos2x+2
+ m9 ]- u# C4 }( T2 M; B
2 Z2 c6 W: ^0 X0 m0 |& x7 g  =4√2sin(2x-л/4)+2+ D" s! h( Y- ]% K
# Y' j$ [1 e2 Z# d4 h
  (1)f(x)=4√2+2- ~7 ~/ H) K9 H( x$ f

4 ~; L1 h, t/ G3 q  (2)由f(A)=6可得4√2sin(2x-л/4)+2=61 `9 v& ]2 B* k4 d0 s
$ f3 v6 F. ?3 l4 ?2 w" _
  解得A=л/4
- ]8 j; Z5 r1 T) l: H
4 _2 x( P& w, v( x7 R5 v  又三角形ABC的面积S=bcsinA/2=3' p7 M# I9 l) A: n3 M+ L# }
4 }4 O6 y( ?) k& j1 h
  得bc=6√2
/ [1 d6 ~: Q& X" y7 t& v1 q0 P+ q& ~! m( F
  因为b+c=2+3√2
! B% w+ a) E: _( ^# x" Z9 I2 v
0 r: V) g) X3 w# T: g! V6 A  所以cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc
3 @) [3 b5 O7 \9 _& M) _! r+ u
; F# H# N8 x; [, U1 ~0 ?& \  =[(b+c)^2-2bc-a^2]/2bc
  `" E- g, p) p4 _) _
+ I" D, V; Z- t+ I6 s" @  =√2/2
. e: z  a0 K0 u' f4 i+ n
' K" G7 O2 e* U, u  解得a^2=10,即a=√10

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